【人教版】高中数学必修第一册 (A版): 源起单位圆：任意角三角函数的统一定义与基本关系

从初中的锐角三角函数（对边/斜边）出发，当我们面对大于 $90^\circ$ 或负角时，几何上的直角三角形已不再适用。此时，单位圆成为了统一所有角度、定义三角函数的灵魂工具。

1. 任意角的三角函数定义

设 $\alpha$ 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则定义：

正弦 (Sine): $\sin \alpha = y$
余弦 (Cosine): $\cos \alpha = x$
正切 (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$

如果点 $P(x, y)$ 在半径为 $r$ 的圆上，则 $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$。

2. 同角基本关系式

由单位圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 直接导出：

1. 平方关系： $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. 商数关系： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

QUESTION 1

写出与 $60^\circ$ 终边相同的角的集合，并找出适合不等式 $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$ 的元素 $\beta$。

集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, -300^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$

集合 $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$

QUESTION 2

已知 $\alpha$ 是锐角，那么 $2\alpha$ 是 ( )。

第一象限角

第二象限角

小于 $180^\circ$ 的正角

第一或第二象限角

QUESTION 3

已知角 $\theta$ 的终边经过点 $P(-12, 5)$，求 $\sin \theta$ 的值。

$5/13$

$-12/13$

$-5/12$

$13/5$

QUESTION 4

(口答) 设 $\alpha$ 是三角形的一个内角，在 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 中，哪些有可能取负值？

只有 $\sin \alpha$

$\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$

三者都有可能

只有 $\tan \alpha$

QUESTION 5

用五点法画 $y = -\sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象，以下哪个点不是其中的关键点？

$(0, 0)$

(\pi/2, -1)

(\pi/4, -\sqrt{2}/2)

(\pi, 0)

QUESTION 6

下列函数中，既是奇函数又是周期为 $\pi$ 的函数是 ( )。

$y = \sin 2x$

$y = 1 - \cos x$

$y = \sin x \cos x$

$y = \tan x$

QUESTION 7

不通过求值，比较 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 与 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 的大小。

$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$

$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$

相等

无法比较

QUESTION 8

已知函数 $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，其最小正周期为 ( )。

$\pi$

$2\pi$

$\pi/2$

$4\pi$

QUESTION 9

求 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ 的值。

$1/4$

$1/2$

$\sqrt{3}/4$

$1/8$

QUESTION 10

已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，则 $\tan \beta$ 的值为 ( )。

$-4/3$

$3/4$

$-3/4$

$4/3$